几种常见的分布及其性质

技术文章 5个月前 完美者
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二项分布(离散型随机变量)

如果离散型随机变量 \(X\) 的分布律为

\[P\{X=k\}=\mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}, k=0,1, \cdots, n \]

其中 \(0<p<1, q+p=1,\) 则称 \(X\) 服从二项分布,记为 \(X \sim B(n, p) .\) 显然, \(P\{X=k\} \geqslant 0, k=0,1, \cdots,\) 而且

\[\sum_{k=0}^{n} P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}=(p+q)^{n}=1 \]

因此,二项分布满足分布律的两个基本性质. 特别地,当 \(n=1\) 时,二项分布退化为两点分布

\[P\{X=k\}=p^{k} q^{1-k}, k=0,1 \]

离散型随机变量的数学期望

\begin{array}{c}
\text { 设随机变量 } X \sim B(n, p), \text { 其分布律为 } \
P|X=k|=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-1}, \quad k=0,1,2, \cdots, n, 0<p<1, p+q=1,
\end{array}

\[\begin{aligned} E(X) &=\sum_{k=1}^{n} k \mathrm{C}_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n(n-1) \cdots[n-(k-1)]}{k !} p^{k} q^{n-k} \\ &=n p \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1) \cdots[n-1-(k-2)]}{(k-1) !} p^{k-1} q^{(n-1)-(k-1)} \\ &=n p \sum_{k^{\prime}=0}^{n-1} C_{n-1}^{k^{\prime}} p^{k^{\prime}} q^{(n-1)-k^{\prime}} \quad\left(k^{\prime}=k-1\right) \\=& n p(p+q)^{(n-1)}=n p \\ 从而 E(X) &=n p \end{aligned} \]

离散型随机变量的方差

几种常见的分布及其性质

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Acapplella/p/13936285.html

版权声明:完美者 发表于 2020-11-07 16:07:09。
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